假如你学习过量子物理学或是听过薛定谔的猫，那么就一定知道有一个叫薛定谔的男生。他假定的薛定谔方程都是物理学中最实用的方程式之一。

乍一看，表达式好像没法求解（某些情况下也确实如此），但阅读文章完此文后，你将了解它的意思，乃至掌握怎样在一些前提下求解它。

我明白上边一堆标记看上去很恐怖，里边甚至有像渔叉一样的东西。因此我们先从物理学里的动能逐渐，把它们推广到算子，然后探讨波函数的功效。最终，我们将要把这些东西拼凑在一起并求解表达式。

经典力学

在经典力学（和物理学）中，能量公式为 E = KE PE，在其中E是总能量，KE是机械能，PE 是势能。如今KE和PE写起来比较长，因此为了节约几秒钟的书写，科学家用很明显的T和V标记各自表明机械能和势能。所以目前我们会有 E = T V

（假如你学习过经典力学，你也许会留意到你采用的是哈密顿公式计算）

如今我们都知道 T=p2/2m（动能公式）。这儿，m=品质，p=动量矩，?=一半。品质一直相对稳定的，但动量矩不一定是。当有人对一个物体增加力，动量矩会开始更改并偏移它原始值。那样势能呢？

势能的关系式是 V= -（F 的积分兑换），在其中 F 是力。非常明显，势能在于增加在物件里的力。在不同情况下，因为存有不一样的力，因此势能很有可能有着不同的值。比如，在吸引力井里，势能为 V=mgx，但谐振子中，势能变成 V=(1/2)kx2。

第一次量化分析

目前在物理学中，采用我们自己的“可观察量”（T 和 E）并使其具备操作符同行业。对于我们来讲，操作符只是一个接纳一个值并吐出来另一个系数的函数公式。因此 T 有相对应的机械能算子，一般用 T' 表明，而动能有相对应的动能算子，一般用 H 表明。势能是“特定的”而非算出的。如今机械能算子被认为是当它们应用于波函数时，它回到粒子的机械能乘于波函数的算子。整件事很有可能看起来有些没用和抽象化，但还是要接着往下看下来。

记得 T=(1/2m)p2 是从哪里来的吗？这就意味着 T' = (1/2m)p?2，在其中 p? 是动量矩算子。与之前一样，p? ψ = p ψ在其中 p 是粒子的动量矩（一样，操作符应用于函数公式并回到函数公式乘于与操作符有关的所有值）。如今证实动量矩算子是

p? = -ih(d/dx)。如今把它当成一个特定的。这就意味着

T' = -h2/2m (d2/dx2)。因为 E = T V，则 H=(-h2/2m)(d2/dx2) V。最后我们如今能将两侧乘于波函数获得

H ψ = -h2/2m (d2ψ/dx2) Vψ

记牢以前的 H ψ = E ψ，因此

E ψ = (-h2/2m)(d2ψ/dx2) Vψ

上边做了许多数学计算，也希望大家并没有头昏。只要我们刚“导出来”了薛定谔方程！目前在大家讨论处理它以前，我们应该谈一谈这一“波函数”究竟是什么。

什么叫波函数？

在经典力学中，使用传统哈密尔顿方程式来求解粒子的运动方程。运动方程仅仅粒子在给出时时刻刻所在的位置的方程式。比如，随意粒子的运动方程为 x(t)=vt x0。假如我们有原始部位和速度，大家能够及时寻找粒子在任何时刻位置。在物理学中，使用薛定谔方程来获取一种叫做“波函数”的东西了。

波函数在传统物理学中毫无意义，或直接认为它毫无意义，因为她不容易（立即）对你说任何信息。而有价值的是波函数的平方米，它让你概率密度函数.。概率密度函数只是一个函数公式，告诉你在操作时寻找某一范围之内粒子的好机会。所以大家可以说波函数仅仅概率密度函数的“平方根”。如今我们终究有了一定的背景信息去解决薛定谔方程了。

从上述式子能够得知，除开势能 V(x) 以外，一切都是常量。采用特定势能，并对具备该特殊势能的现象求解方程式。因而，您只要搞清楚势能函数公式就能求解方程式

计算步骤

（不太喜欢微积分学的朋友可以绕过这一部分）

如今，使我们求解一个简单势能的薛定谔方程，在其中 V(x)=0。这被称作随意粒子，由于功效在它们上边的合力为零。在传统前提下，运动方程为 x(t)=vt x0，他在时空图中形成一条直线。让我们一起看看量子科技条件下的波函数是怎么样的。

因为 V(x)=0，则薛定谔方程变成

-h2/2m(d2ψ /dx2) = Eψ

最后我们可以做一些重新排序并获得

d2 ψ/dx2 = -2mEψ/h2

我们目前能够看见，除 ψ 外，右边的全部项全是常量。这 非常好，因为他使表达式便于求解。最后我们能够界定一个常量 k 为 sqrt(2mE/h)，这就意味着我们目前有

d2ψ / dx2 = -k2ψ

最后我们在式子两侧再加上右侧的项

d2ψ/dx2 k2ψ = 0

最后我们假定ψ(x) = exp(rx)

从这当中大家获得

r=-k2, r= ik 或 -ik

这就意味着ψ( x)=exp(ikx) 或

ψ( x)=exp(-ikx)

因为方程是线性的，我们可以把两个部分累加（特征函数）获得特解

ψ(x) = Aexp(ikx) Bexp(-ikx)

你可能想要知道我们怎样才能知道变量定义 A 和 B。我们一般可以通过称之为归一化的方法去做到这一点。事实上，面对这种情况没法规范性。如果你去无穷或负无穷大时，波函数不容易贴近零。那对于这种状态相对应的A和B值大概是多少？事实上，这显然不是一种很有可能状态，因为你没法把它规范化。

但是也不要担忧，事实上，全部可能性的波函数的累加能够产生真正情况。这就意味着他能够带来一定的有意思的东西