三、运用指示器随机变量进行计算掷n 个骰子之和的期望值。

文心一言：

为了能测算掷n个骰子之和的期望值，我们应该先了解一下一个重要的定义：指示器随机变量。

指示器随机变量是一种特殊的随机变量，它就两个选值：0和1。一般用I来描述指示器随机变量，它选值为1表明事情发生，选值为0表明事情未出现。在掷骰子的事例中，我们可以将指示器随机变量界定为：

I(i)={0,假如第i个骰子的点数为61,假如第i个骰子的点数高于或等于2且不大于5在其中，i代表第i个骰子。

拥有指示器随机变量，我们可以将掷n个骰子之和的期望值测算为：

E(X)=n×E(I(1))=n×(15/6)=52n/6

在其中，X表明掷n个骰子获得的总体点数，E(X)表明X的期望值。每次掷骰子，有1/6的几率获得6点，5/6的几率获得别的点数，因此期望值能够来表示n × (15/6)。

因而，掷n个骰子之和的期望值为52n/6。

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科大讯飞星光：

编码解决方法：

在Python中，可以用random控制模块来生成随机数。要测算掷n个骰子之和的期望值，可以用指示器随机变量来描述每一个骰子的点数，并用二项式遍布进行计算期望值。

下列是一个实例编码，演试怎么使用指示器随机变量进行计算掷n个骰子之和的期望值：

pythonimport random# 界定指示器随机变量dice =[1, 2, 3, 4, 5, 6]def dice_sum(n): # 测算二项式遍布几率 p =[1/6.0 for i in range(n 1)]p[0]= 0 p[1]= 1 for i in range(2, n 1): p[i]= p[i-1]p[i-2]# 测算期望值 s = sum(random.choice(dice) for _ in range(n)) e = 0 for i in range(n 1): e = p[i]*s s = random.choice(dice) return e# 测试函数for n in range(1, 7): print('{}:{}'.format(n, dice_sum(n)))

在这样一个例子中，我们先重新定义了一个指示器随机变量dice,这其中包括了骰子的点数。随后，大家重新定义了一个名为dice_sum()的函数公式，它接纳一个整数主要参数n,表明掷骰子次数。在变量内部结构，使用二项式遍布进行计算期望值。从总体上，我们先测算了二项式分布概率分布函数p,然后用random.choice()函数公式从指示器随机变量中选择一个点数，并把它加进总数s中。最终，根据二项式分布公式换算期望值。在每一次周期中，大家都启用dice_sum()函数公式进行计算掷不一样频次骰子之和的期望值，并把结论直接打印。

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华为公司盘古开天：

要测算掷n个骰子之和的期望值，可以用随机变量来描述每一个骰子数值。具体地说，我们可以界定下列随机变量:

$rand_n(n)$

在其中，$rand_n$是随机变量，$n$是掷骰子的数量。

我们可以开展下列测算:

$$rand_n(n-1)$ = $$rand_n(n-2)$ $$rand_n(n-3)$ $$rand_n(n-4)$ $$$$$$$$$$$$$$

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360智脑：

如果有n个骰子,每一个骰子的点数为1到6中间的几率相同,那样抛掷这n个骰子的期望值为$(1/6)^n * (2*6^n - 1)$。

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chatglm：

掷 n 个骰子总和可以使用一个 6 维随机向量来描述，在其中每一个元素表示掷出每个骰子得到的结果。假定这一随机向量用 X 表明，那样 X 的期望值可以使用下列公式换算：

E(X) = 1 * 6 2 * 6 3 * 6 4 * 6 5 * 6 6 * 6

在其中，1 表明掷出一个骰子，2 表明掷出2个骰子，依此类推，6 表明掷出全部六个骰子。 这一公式计算可以使用摡率论的基础知识来描述。假定掷 n 个骰子的结果就是离散变量随机变量 X，那样 X 的期望值能够来表示全部有可能出现过程的加权平均。在 6 个骰子中，每一个骰子发生的几率全是 1/6，因而每一个结论权重为 1/6。而所有六个骰子可能发生的全部结论一共有 6! 种 (6 的阶乘)，因而全部结论权重之和为 6!。因而，掷 n 个骰子之和的期望值能够来表示：

E(X) = Σ[i=1,n](1/6) * P(X=i)

在其中，P(X=i) 表明掷 n 个骰子里出现 i 个骰子的几率。 因为 X 是一个 6 维随机向量，所以要测算它期望值需要用到分布式存储或是 GPU 测算，不然运算量会比较大。

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chatgpt：

设每一个骰子的点数为 $X_i$，则总点数为 $S_n = \\sum_{i=1}^ X_i$，在其中 $X_i$ 互不相关且都听从于离散型联合分布 $U(1,6)$，即 $P(X_i = k) = \\frac{1}{6}$，在其中 $k \\in{1,2,3,4,5,6}$。

由于指示器随机变量就两个很有可能选值，因而我们可以计划将每一个 $X_i$ 来表示一个指示器随机变量 $Y_i$，在其中当 $X_i = k$ 时 $Y_i = 1$，当 $X_i \ eq k$ 时 $Y_i = 0$。因而，每一个 $X_i$ 能够创作 $X_i = \\sum_{k=1}^{6}k Y_i(k)$，在其中 $Y_i(k)$ 表明于第 $i$ 次掷骰子时第 $i$ 个骰子点数是否属于 $k$。

考虑到到各个骰子的点数 $X_i$ 都能够来表示指示器随机变量 $Y_i$ 的特征函数，因而我们可以运用线形特性和期待的界定进行计算 $S_n$ 的期望值 $\\mathrm{E}(S_n)$：

$$ \\begin{aligned}\\mathrm{E}(S_n) &= \\mathrm{E}\\left[\\sum_{i=1}^ X_i\\right]\\ &= \\mathrm{E}\\left[\\sum_{i=1}^ \\left(\\sum_{k=1}^{6}k Y_i(k)\\right)\\right]\\ &= \\sum_{k=1}^{6}k \\mathrm{E}\\left[\\sum_{i=1}^ Y_i(k)\\right]\\ &= \\sum_{k=1}^{6}k \\mathrm{E}(Y_1(k)) \\quad (\ extrm{由于 }Y_i(k)\ extrm{ 互不相关})\\ &= \\sum_{k=1}^{6}k P(X_1 = k) \\ &= \\sum_{k=1}^{6}k \\frac{1}{6}\\ &= \\frac{7}{2}n \\end{aligned}$$

因而，掷 $n$ 个骰子的总体点数的期望值为 $\\dfrac{7}{2}n$。

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